勾股定理证明图（勾股定理的证明过程）

最近很多用户都在找关于勾股定理证明图的答案。今天毕业证样本网总结了几个答案给大家解读！97%的新客户认为，本文讨论勾股定理证明图的知识和勾股定理解释值得一读！

勾股定理的三种证明带图。

【证法1】(梅文鼎证明)。

制作四个全等直角三角形，将两个直角边长分别设置为a、b，斜边长为c。把它们拼成如图所示的多边形，使它们成为多边形D、E、F一条直线。

过C作AC延长线交DF在点P。

∵D、E、F一条直线，且RtΔGEF≌RtΔEBD，

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF∠GEF=90°，

∴∠BED∠GEF=90°，

∴∠BEG=180°―90°=90°。

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG边长为c的正方形。

∴∠ABC∠CBE=90°。

∵RtΔABC≌RtΔEBD，

∴∠ABC=∠EBD。

∴∠EBD∠CBE=90°。

即∠CBD=90°。

又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，

BC=BD=a。

∴BDPC这是一个方形，边长为a。

同理，HPFG边长为b的正方形。

多边形GHCBE的面积为S，则。

【证法2】(项明达证明)。

做两个全等的直角三角形，分别设置两个直角边长a、b（b>a），斜边长为c。再做一个边长为c的正方形。

将它们拼成如图所示的多边形，使它们形成多边形E、A、C三点在一条直线上。

过点Q作QP∥BC，交AC于点P。

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点。

F作FN⊥PQ，垂足为N。

∵∠BCA=90°，QP∥BC，

∴∠MPC=90°，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90°，

∴BCPM是矩形，即∠MBC=90°。

∵∠QBM∠MBA=∠QBA=°，

∠ABC∠MBA=∠MBC=90°，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA。

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF。

【证法3】(赵浩杰证明)。

做两个全等的直角三角形，分别设置两个直角边长a、b（b>a），斜边长为c。再做一个边长为c的正方形。将它们拼成如图所示的多边形。

分别以CF，AE边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G，I，J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB=∠CFD=90°，

∴RtΔCJB≌RtΔCFD，

同理，RtΔABG≌RtΔADE，

∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE。

∴∠ABG=∠BCJ，

∵∠BCJ∠CBJ=90°，

∴∠ABG∠CBJ=90°，

∵∠ABC=90°，

∴G，B，I，J在同一直线上，

【证法4】(欧几里证明)。

分别做三个边长a、b、c正方形将它们拼成如图所示的形状H、C、B三点在一条直线上连接。

BF、CD。过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点L。

∵AF=AC，AB=AD，

∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB面积等于，

ΔGAD面积等于矩形ADLM。

一半的面积，

∴矩形ADLM面积=。

同理可证，矩形MLEB面积=。

∵正方形ADEB的面积。

=矩形ADLM面积矩形MLEB面积。

∴，即a^2b^2=c^2。

勾股定理证明带图5种。

不包括赵爽证明和青朱出入图证明。

不包括赵爽证明和青朱出入图证明。有图片。勾股定理的证明：在这几百种证明方法中，有的非常精彩，有的非常简洁，有的因为证明者的特殊身份而出名。

首先介绍两个最精彩的勾股定理证明，据说分别来自中国和希腊。

1。中国方法：画两个边长(ab)正方形，如图所示，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，所以面积相等。

左图和右图各有四个与原直角三角形相等的三角形，左右三角形面积之和必须相等。从左右图中去除四个三角形，图形剩余部分的面积必须相等。左图中剩下两个正方形，分别是a、b为边。右边的正方形剩下c。于是。

a^2b^2=c^2。

这是我们几何教科书中介绍的方法。任何人都能理解它既直观又简单。

2。希腊方法：直接在直角三角形三边画正方形，如图所示。

容易看出，

△ABA’≌△AA'C。

过C向A’’B“引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’与正方形ACDA同底等高，前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。也可以得到正方形BB’EC面积等于矩形B’’BC’C"的面积。

于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’S正方形BB’EC，

即a2b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积的一半，可以通过割补法获得(请自行证明)。这里只使用简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。

这就是希腊古代数学家欧几里在《几何原始》中的证法。

以上两种证明方法之所以精彩，是因为它们使用的定理很少，只使用面积的两个基本概念：

⑴全等形面积相等；

⑵图形分为几个部分，每个部分的面积之和等于原图形的面积。

这是一个完全可以接受的简单概念，任何人都能理解。

中国历代数学家有很多关于勾股定理的论证方法，也有很多关于勾股定理的图片注释，其中赵爽(即赵君卿)在他附于《周笔算经》的论文《勾股圆方图注》中的证明较早。采用切补法：

如图所示，将图中的四个直角三角形涂上朱色，中间的小正方形涂上黄色，称为中黄实，以弦为边的正方形称为弦实。然后，经过补充搭配，“补充出入，各从其他类别”，他肯定了勾股弦之间的关系符合勾股定理。也就是说，“勾股各自乘，并称为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，体现了我国数学家高超的证题思想，比较简洁直观。

也有许多西方学者研究了勾股定理，并给出了许多证明方法，其中毕达哥拉斯给出了最早的文字记录证明。据说他证明勾股定理后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆祝。因此，西方也称勾股定理为“百牛定理”。不幸的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们不知道他的证明方法。

以下是美国第二十任总统伽菲尔德勾股定理的证明。

如图，

S梯形ABCD=(ab)2。

=(a22abb2)，①。

又S梯形ABCD=S△AEDS△EBCS△CED。

=abbac2。

=(2abc2)。②。

比较以上两种类型，便得。

a2b2=c2。

这一证明使用了梯形面积公式和三角形面积公式，使证明相当简洁。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证明。五年后，伽菲尔德成为美国第二十任总统。后来，为了纪念他对勾股定理的直观、简洁、易懂、清晰的证明，人们称这种证法为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上是一个故事。

在学习了类似的三角形后，我们知道直角三角形的两个直角三角形与原来的三角形相似。

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则。

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD？BA，①。

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD？AB。②。

我们发现，把①、②两种类型的相加可得。

BC2AC2=AB（ADBD），

而ADBD=AB，

因此有BC2AC2=AB2，这就是。

这也是证明勾股定理的一种方法，也很简单。它利用了类似三角形的知识。

在众多证据中，人们也会犯一些错误。如有人给出以下证明勾股定理的方法：

设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理。

c2=a2b2-2abcosC，

因为∠C=90°，所以cosC=0。所以。

这种证法，看似正确而简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

人们之所以对勾股定理感兴趣，是因为它可以推广。

欧几里德在他的《几何原创》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形是两个直角边上的两个相似的直边形之和”。

从以上定理可以推出以下定理：“以直角三角形三边为直径为圆，以斜边为直径的圆面积等于以直径为直径的两个圆面积”。

钩定理也可以推广到空间：以直角三角形的三面作为相应的边缘作为类似的多面体，斜边上的多面体表面积等于直角边上两个多面体表面积的总和。

如果直径分别为直径的直角三角形三角形，则斜边上球的表面积等于两个直角边上球的表面积之和。

如此等等。

另外：八年级数学勾股定理证明(介绍16种证明方法)(数学教案)。

这对你有用吗？