勾股的证明方法（勾股定理的逆定理怎么证明）

最近很多用户都在寻找勾股证明方法的答案。今天毕业证样本网总结了几个答案给大家解读！97%的新客户认为，本文讨论了五种证明方法：勾股知识和勾股定理！

证明勾股定理最简单的方法是什么？

证明勾股定理的简单方法如下：

制作8个全等直角三角形，分别设置两个直角边长a、b，斜边长为c，分别做三个边长a、b、c正方形，像上图一样拼成两个正方形。

发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形可以形成边长（ab）正方形；四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚刚凑成边长（ab）的正方形。

因此，可以看出上述两个大正方形面积相等。列出式子可得：

拓展资料：

勾股定理是指直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方的基本几何定理。在中国古代，直角三角形被称为股票形状，直角边缘较小的是股票，另一个长直角边缘是股票，斜边缘是弦，所以这个定理被称为股票定理，有些人也被称为商业高定理。

约有500种证明勾股定理的方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现和证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝商高提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例。在西方，公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派首先提出并证明了这一定理。他用演绎法证明，直角三角斜边平方等于两个直角平方之和。

勾股定理_勾股定理魏德武证法简洁易懂，一目了然。用四块全等直角三角板，用小写分别使用每个直角三角形的三边长a、b、c表示，然后依次拼成两个矩形面积（abab=2ab），然后将其拆开并重新组合，通过变形将其转化为边长为c的正方形面积。根据两个长方形面积前后不变的原理，无需切割或验证即可轻松获得恒等式，即：2ab=c^2-(b-a)^2化简得c^2=a^2b^2。这是世界上最简单的勾股定理魏氏证法！这是世界上最简单的勾股定理魏氏证法！到目前为止，勾股定理魏德武证法可以说是所有勾股定理证法中最简单、最实用的首选方法。学者一眼就能理解和学会。四个全等直角三角形边长分别为四个a、b、c，形成两个长方形面积（abad=2ab），然后将两个长方形面积分开，从一个新的边长到c的正方形，通过变形将原来的四个全等直角三角形面积转化为c^2-(b-a)^计算，根据前后面积不变的原理，构建一对恒等式2ab=c^2-(b-a)^2化简后得c^2=a^2b^2。这样，直角三角形三边的内在关系就可以很容易地导出，而不需要割补或验证。证法一：

这是最简单、最精致的证明方法之一，几乎没有文字解释，可以说是无字证明。如图所示，左边是一个由四个相同的直角三角形和中间的小正方形组成的大正方形。

图形变换后面积没有变化，左边大方形的边长是直角三角形的斜边c，面积是c2。右边的图形可以分为两个正方形，它们的边长分别是两个直角边a和直角三角形b，面积就是a2＋b2，于是a2＋b2＝c2。

公元222年，公元左侧的“弦图”首次出现在中国数学家赵爽的《勾股方圆图注》中。赵爽是中国数学史上第一个证明勾股定理的人。2002年8月，在北京召开的国际数学家大会标志着中国数学进入了一个新时代。会徽就是这个“弦图”，象征着中国古代数学的重要成就。

证法二：

这种解决方案应该是美国第20任总统茄菲尔德(，1831~1881)用下图证明的来源最有趣的证明方法之一。

总统不是数学家，他甚至从来没有学过数学。他只是非正式地自学了几何知识，喜欢玩基本的图形。当他还是众议院议员时，他想出了1876年在《新英格兰教育杂志》上发表的精美证据(New。

EnglandJournalofEducation)上。总统先生的证明如下：

首先，图中的梯形面积如下：

梯形的三个三角形的面积为：

因此，有以下等式：

即得a2＋b2＝c2。

接下来的两个证明非常简单易懂，被认为是所有证明中最短最简单的证明，因为从头到尾只用了几行。但这些证据依赖于类似三角形的概念，需要大量的基础工作才能全面发展，这里就不赘述了。

证法四：

该证法涉及圆内相交弦定理：m·n＝p·q(如左图)，再看AB和CD在垂直情况下，相交弦定理仍然成立(如右图)，因此(c－a)(c＋a)＝b2。即得c2－a2＝b2于是，a2＋b2＝c2。

使用射影定理：

已知：△ABC是直角三角形，∠C=90°。

求证：AC2BC2=AB2。

证明：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD、BD分别是AC、BC斜边AB上的射影。

从射影定理可以得到：

AC2=AD·AB，BC2=BD·AB。

∴AC2BC2=AD·ABBD·AB=AB·（ADBD）=AB2。

证明勾股定理的方法

证明勾股定理：在这几百种证明方法中，有的非常精彩，有的非常简洁，有些人以其特殊的身份而闻名。首先介绍两个最精彩的勾股定理证明，据说分别来自中国和希腊。首先介绍两个最精彩的勾股定理证明，据说分别来自中国和希腊。

1。中国方法：画两个边长(ab)正方形，如图所示，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，所以面积相等。

左图和右图各有四个与原直角三角形相等的三角形，左右三角形面积之和必须相等。从左右图中去除四个三角形，图形剩余部分的面积必须相等。左图中剩下两个正方形，分别是a、b为边。右边的正方形剩下c。于是。

a^2b^2=c^2。这是我们几何教科书中介绍的方法。任何人都能理解它既直观又简单。2。希腊方法：直接在直角三角形三边画正方形，如图所示。

容易看出，△ABA’≌△AA'C。过C向A’’B“引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’与正方形ACDA同底等高，前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。也可以得到正方形BB’EC面积等于矩形B’’BC’C"的面积。

于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’S正方形BB’EC，即a2b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积的一半，可以通过割补法获得(请自行证明)。这里只使用简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。

这就是希腊古代数学家欧几里在《几何原始》中的证法。以上两种证明方法之所以精彩，是因为它们使用的定理很少，只使用面积的两个基本概念：⑴。

全等形面积相等；⑵图形分为几个部分，每个部分的面积之和等于原图形的面积。这是一个完全可以接受的简单概念，任何人都能理解。

中国历代数学家有很多关于勾股定理的论证方法，也有很多关于勾股定理的图片注释，其中赵爽(即赵君卿)在他附于《周笔算经》的论文《勾股圆方图注》中的证明较早。采用切补法：

如图所示，将图中的四个直角三角形涂上朱色，中间的小正方形涂上黄色，称为中黄实，以弦为边的正方形称为弦实。然后，经过补充搭配，“补充出入，各从其他类别”，他肯定了勾股弦之间的关系符合勾股定理。也就是说，“勾股各自乘，并称为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，体现了我国数学家高超的证题思想，比较简洁直观。

也有许多西方学者研究了勾股定理，并给出了许多证明方法，其中毕达哥拉斯给出了最早的文字记录证明。据说他证明勾股定理后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆祝。因此，西方也称勾股定理为“百牛定理”。不幸的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们不知道他的证明方法。

以下是美国第二十任总统伽菲尔德勾股定理的证明。如图，S梯形ABCD=(ab)2=(a22abb2)，①。

又S梯形ABCD=S△AEDS△EBCS△CED=abbac2=(2abc2)。②比较以上两种类型，便得a2b2=c2。

这一证明使用了梯形面积公式和三角形面积公式，使证明相当简洁。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证明。五年后，伽菲尔德成为美国第二十任总统。后来，为了纪念他对勾股定理的直观、简洁、易懂、清晰的证明，人们称这种证法为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上是一个故事。

在学习了类似的三角形后，我们知道直角三角形的两个直角三角形与原来的三角形相似。

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。由△BCD∽△BAC可得BC2=BD？

BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD？AB。②我们发现，把①、②两种类型的相加可得BC2AC2=AB（ADBD），而ADBD=AB，

因此有BC2AC2=AB2，这就是a2b2=c2。这也是证明勾股定理的一种方法，也很简单。它利用了类似三角形的知识。

在众多证据中，人们也会犯一些错误。如果有人给出了以下证明勾股定理的方法：设置△ABC中，∠C=90°，由余弦定理。

c2=a2b2-2abcosC，因为∠C=90°，所以cosC=0。所以a2b2=c2。

这种证法，看似正确而简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。人们之所以对勾股定理感兴趣，是因为它可以推广。

欧几里德在他的《几何原创》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形是两个直角边上的两个相似的直边形之和”。

从以上定理可以推出以下定理：“以直角三角形三边为直径为圆，以斜边为直径的圆面积等于以直径为直径的两个圆面积”。

钩定理也可以推广到空间：以直角三角形的三面作为相应的边缘作为类似的多面体，斜边上的多面体表面积等于直角边上两个多面体表面积的总和。

如果直径分别为直径的直角三角形三角形，则斜边上球的表面积等于两个直角边上球的表面积之和。如此等等。

另外：八年级数学勾股定理证明(介绍16种证明方法)(数学教案)/view/勾三股四玄五。

证明“勾股定理”的方法

基于相似三角形中两侧长的比例，采用相似三角形的证明方法证明相似三角形的勾股定理有很多方法。ABC是一个直角三角形，直角在角C（看附图）

从点C画出三角形的高度，并称之为高度与AB的交叉点H。这种新的三角形ACH类似于原来的三角形ABC，因为两个三角形中都有一个直角(这也是因为“高”的定义)，两个三角形都有一个共同角，可见第三个角是相等的。同理，三角形CBH和三角形ABC也差不多。这些相似关系衍生出以下比例关系：

因为BC=a，AC=b，AB=c所以a/c=HB/aandb/c=AH/b可以写成aa=cHBandbb=CAH。

欧几里得的证法可以在欧几里得的《几何原本》一书中提出以下证明后成立。

设△ABC一直角三角形，其中A为直角。从a点划直线到对边，使其垂直于对边的正方形。这条线将边缘的正方形分为两部分，其面积分别等同于其他两个正方形。

在正式证明中，我们需要以下四个辅助定理：如果两个三角形有两组相应的边缘，两个三角形是相等的。（SAS定理）

三角形面积是任何平行四边形面积的一半，底部和高度相同。任何方形面积等于其二侧长的乘积。任何四方形面积等于其二侧长的乘积(根据辅助定理3)。

证明的概念是将上面的两个正方形转换为两个相同面积的平行四边形，然后旋转并转换为下面两个相同面积的长方形。其证明如下：

设△ABC它是一个直角三角形，它的直角是CAB。其边为BC、AB、和CA，按顺序画成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画点A之BD、CE的平行线。这条线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，所以C、A与G线性对应，可证是一样的B、A和H。∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为AB和。

BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。因为A与K与L线性对应，因此四方形BDLK必须面积的两倍△ABD。

因为C、A与G有共同的线性，因此正方形BAGF必须面积的两倍△FBC。因此，四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=AB2。同理可证，四边形。

CKLE必须有相同的面积ACIH=AC2。加上这两个结果，AB2AC2=BD×BKKL×KC由于BD=KL，BD×BK。

KL×KC=BD(BKKC)=BD×BC因为CBDE是正方形，所以AB2AC2=C2。

本证明是欧几里得《几何原本》一书第1.47节提出的其余见解：html图中，DABCDA是直角三角形，其中DA是直角形。我们在边AB、BC和。

AC上面分别画了三个正方形ABFG、BCED和ACKH。A点画一直线AL，使其垂直于DE并交DEL，交BC於。

M。不难证明，DFBC全等於DABD（S。A。S。）因此，正方形ABFG的面积=2′DFBC的面积=2′DABD的面积。

=长方形BMLD面积。类似地，正方形ACKH的面积=长方形MCEL面积。即正方形BCED的面积=正方形ABFG的面积。

正方形ACKH面积，即AB2AC2=BC2。这证实了勾股定理。对不起，这里的网络不好，传不出图片。

寻求勾股定理证明方法。

传统上认为是古希腊毕达哥拉斯证明的基本几何定理。据说毕达哥拉斯证明了这个定理，就是斩了百头牛庆祝，所以也叫“百牛定理”。在中国，《周笔算经》记载了勾股定理的一个特例。据说是商代商高发现的，所以也叫商高定理；三国时期的赵爽详细注释了《周笔算经》中的勾股定理作为证明。法国和比利时被称为驴桥定理，埃及被称为埃及三角形。在中国古代，直角三角形中较短的直角边称为钩，较长的直角边称为股票，斜边称为弦。勾股定理的证明：在这几百种证明方法中，有的非常精彩，有的非常简洁，有的因为证明者的特殊身份而出名。

首先介绍两个最精彩的勾股定理证明，据说分别来自中国和希腊。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积的一半，可以通过割补法获得(请自行证明)。