椭圆形面积计算公式(不用微积分，如何计算圆面积)

　　选自medium

　　AndreYe

　　编译机器之心

　　机器之心部

　　用牛刀杀鸡，我们用机器学习方法来计算圆的面积。

　　问问任何人圆的面积是多少，他们会告诉你不是r2吗。但如果你问他们为什么，他们可能不知道。

　　这是因为在大多数情况下，圆面积公式的证明要么不直观，不令人满意，要么充满了高级数学概念，如积分。

　　借鉴统计学习和机器学习的核心原理，我们可以利用蒙特卡罗模拟和多项式/二次回归创建基于计算的方法，找到圆面积公式。

　　我们使用蒙特卡罗法，而不使用任何数学操作来获得圆形面积。蒙特卡罗法用于探索不规则形状的面积，预测股市。该方法的核心思想是引入随机性，测量系统的反馈，甚至在不了解系统原理的情况下获得有效的信息。

　　当蒙特卡罗被用来接近圆形区域时，我们先生会形成一些随机坐标点(x1,x2)这两个方向的坐标均匀分布是从负半径值到正半径值绘制的。我们在圆中放置2.5万个坐标点，如中心极限定理（或大数定律）所描述的，研究中使用的真实随机样本示例越多，结果就越准确。

　　对于圆内的每个点，我们可以引入一个落入圆内的点的计数变量。所有随机点投入后，圆内点除以总点(研究中为2.5万)的值，代表正方形内圆面积的分数。正方形的边长是圆半径的两倍，所以正方形的面积是4r二、其中r是圆的半径。用4r乘以前得到的分数，就得到了圆面积。在没有数学计算公式的情况下，通过蒙特卡罗法，圆的真实面积可以非常接近。

　　事实很简单，结果几乎完全正确！

　　在给定半径r的情况下，我们可以找到任何圆的面积，但此时此刻我们还没有总结出圆的公式。为了找到公式，我们需要创建一个二次方程式进行建模，需要一个半径并尝试输出面积。为了正确拟合方程，我们必须收集每个半径的蒙特卡洛近似区域的数据。

　　importnumpyasnp

　　fromtqdmimporttqdm#Justaprogressbarindicator

　　#Numberofrandomizedpointstogenerateforeachroximation

　　num_points=250_000

　　#Liststostoretheradiusanditscorrespondingarearoximation

　　#Foreachofthe500equallyspacedvaluesbetween1and100inclusive:

　　forradiusintqdm(np.linspace(1,100,500)):

　　#Acounterforthenumberofpointsinthecircle

　　in_circle=0

　　foriinrange(num_points):

　　#Generateanxandycoordinatefromauniformdistributionboundedbyatangentbox

　　xcoor=np.random.uniform(-radius,radius)

　　ycoor=np.random.uniform(-radius,radius)

　　#Ifthepointisinsidethecircle,addonetoin_circle

　　ifxcoor**2 ycoor**2

　　in_circle =1

　　#Getthefractionofthepointsthatwereinsidethecircle

　　area_frac=in_circle/num_points

　　#endtheroximatedareaandtheradius

　　areas.end(area_frac*(4*(radius**2)))

　　radii.end(radius)

　　下一步是编写拟合数据的二次项模型(回归模型)，y=ax2。我们可以通过绘图验证数据是二次项，而不是三阶或四阶多项式。我们可以通过绘图验证数据是二次项，而不是三阶或四阶多项。本质上，这是一个基本的机器学习问题，所以回顾一些基本术语：

　　模型参数:自动调整模型以找到最佳参数。在这种情况下，参数是a。若有n个参数，则该模型称为n维。我们使用的最基本的模型是一维的，对图像进行分类的深度神经网络可能有数百万个维度。

　　损失函数：损失函数是对当前模拟情况的评估，并希望找到能得到最低误差的参数集，从而使损失函数最小化。例如，如果参数值j的损失函数值为3，而参数值k的损失函数值为2，则应选择参数值k。

　　平均绝对误差（MAE）：由于它易于使用和理解，我们将使用损失函数/错误测量。给出当前参数（a）和模型预测值，平均绝对误差是指预测值和真实值之间的平均差异，较低的MAE意味着模型更适合数据。

　　学习率：为了优化参数，模型将是特定的「方向」逐步调整参数。因为我们目前的模型只优化一个参数（a），因此，只需决定在一维平面上增加或减少参数值（任何变化都会产生较低的损失函数）。在调整过程中，模型的移动量称为学习率。较高的学习速度意味着模型可能会在短时间内获得一组有效的参数，但不能保证其准确性，较低的学习率可以获得非常好的参数和较高的准确性。唯一的一点是需要大量的训练时间。

　　有了这些变量，我们可以构建一个非常基本和简单的程序来拟合这些数据：

　　把参数coef（a）初始化为0.1。

　　训练周期中的每一次迭代:

　　提出两条coef路径；coef lr和coef-lr，其中lr是学习率。

　　对使用coef=coef lr模型及使用coef=coef-lr平均模型评估绝对误差。

　　将coef设置为等等coef lr和coef-lr中平均绝对误差值较小的数字。

　　通过反复优化平均绝对误差，模型最终将收敛「最佳」coef值(从而最大限度地减少平均绝对误差)。这个想法是机器学习的核心原理——计算机可以通过反复推断、评估和修正来实现「磨炼」制作一套最佳参数。

　　coef=0.1#Initialcoefficientvalue

　　learning_rate=0.00001#Howfastthemodel'learns'

　　iterations=100000#Howmanytimeswewantthemodelto'practiceandcorrect'

　　foriintqdm(range(iterations)):#note-tqdmisjustaprogressbar

　　#Proposetwopathforthecoefficient:

　　up_coef=coef learning_rate#Moveup

　　down_coef=coef-learning_rate#Ormovedown

　　#Storethepredictionsforamodelusingparametersup_coefanddown_coef

　　#Foreachradiusvalueinthepreviouslycreatedlistradii:

　　forrinradii:

　　#endthemodelusingup_coef'sanddown_coef'sprediction(a*r^2)

　　up_pred.end(up_coef*(r**2))

　　down_pred.end(down_coef*(r**2))

　　#FindtheMAE.BothareconvertedtoNumPyarraysforeasyoperation.

　　up_coef_mae=np.abs(np.array([up_pred])-np.array([areas])).mean()

　　down_coef_mae=np.abs(np.array([down_pred])-np.array([areas])).mean()

　　#Ifmovingthecoefficientdownyieldsalower(better)MAE:

　　ifdown_coef_mae

　　#Setitequaltodown_coef

　　coef=down_coef

　　#Otherwise(movingthecoefficientupyieldsalower(better)orequalMAE:

　　else:

　　#Setitequaltoup_coef

　　coef=up_coef

　　当我们检查训练的coef值时，可见它等于π：

　　print(str(coef)[:5])#firstfourdigitsofcoefficient(decimalpointcountsasacharacter)

　　[Output]:'3.141'

　　当然，计算圆面积的公式很容易记住r2。我们可以找到它的公式，并找到一种使用蒙特卡洛模拟和二次回归找到值的方法，而无需使用微积分中任何复杂的数学方法或其他证据。我们可以找到它的公式，并找到一种使用蒙特卡洛模拟和二次回归找到值的方法，而无需使用微积分中任何复杂的数学方法或其他证据。用这个想法，你可以找到计算圆面积的方法——当然，你也可以找到任何图形的面积计算公式——椭圆形、心形和二维乌龟形状——只要参数能解释它的轮廓。

　　近年来，计算机已经接管并开始解决复杂的高可变数学问题，计算圆面积只是一个简单的例子。如果你想要更复杂、更开创性，那当然是四色定理（每张无外飞地的地图可以染色不超过四种颜色，两个相邻区域不会有相同的颜色）。这是计算机先生证明并被数学家广泛接受的第一个结果。

　　借助计算机，人类可以探索极其复杂的数学领域，这是过去无法尝试的。