函数周期证明（在高等数学中如何证明一个函数是周期函数）

如何证明函数周期？

对于函数y=f（x），如果有一个零的常数T，当x取练国沙师路石手定义域内的每一个值时，f（xT）=f（x）所有的函数都成立了，然后函数就被设置了y=f（x）称为周期函数，不为零的常数T称为此函数的周期。(6)周期函数f（x）定义域M必须是至少一方无界刘的集合。

如何证明一个函数是周期函数

证明f（xT）=f（x）即可。

判断周期函数的方法分为以下步骤：

（1）判断f（x）定义域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10)不是周期函数。

(2)根据定义讨论函数的周期性，关系中可以知道非零实数Tf（xT）=f（x）它与x无关，因此在讨论时可以解决T的方程f（xT）-

f（x）=0.如果能解决与x无关的非零常数T，则可以确定函数f（x）它是一个周期函数，如果不存在这样的Tf（x）非周期函数。

例：f（x）=cosx^二是非周期函数。

(3)反证法一般证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而获得f（x）非周期函数)。

例：证f（x）=axb(a≠0)是非周期函数。

证：假设f（x）=axb是周期函数，存在T（≠使之成立，a（xT）b=axbaxaT-ax=0，aT=0又a≠0，

∴T=0与T≠0矛盾，

∴f（x）非周期函数。

对于函数y=f（x），如果有一个零的常数T，当x取定义域内的每个值时，f（xT）=f（x）所有的函数都成立了，然后函数就被设置了y=f（x）称为周期函数，不为零的常数T称为此函数的周期。

事实上，任何常数kT（k∈Z，且k≠0)都是它的周期。周期函数f（x）周期T是与x无关的非零常数，周期函数不一定有最小正周期。

周期函数的性质分为以下类型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n也是任意非零整数)f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）正周期最小T，那么f（x）任何正周期T都必须是T的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）和T1/T二是无理数，则f（x）没有最小正周期。

(6)周期函数f（x）定义域M必须是至少一方无界的集合。

若f（x）以T为最小正周期的集M周期函数f（axn）是集|axb∈M}上的以T/a是最小正周期的周期函数(包括a、b为常数）。

先证f（axb）的周期。

∵T*是f（x）的周期，

∴f（x±T）=f（x），有X±T∈M，以axb替换x得，f（ax±Tb）=f（axb），此时axb∈M，提取a为公因式得，f[a（xT/a）b]=f（axb）

∴T*/a是f（axb）的周期。

再证是f（axb）最小正周期。

假设存在T’/a（0

∴T’是f（x）的周期，但T’

∴不存在T’/a（0

(2)根据定义讨论函数的周期性，关系中可以知道非零实数Tf（xT）=f（x）它与x无关，因此在讨论时可以通过道因巴圆调解T的方程f（xT）-

f（x）=0.如果能解决与x无关的非零常数T，则可以确定函数f（x）是周不补灯的前期函数，如果不存在这样的Tf（x）非周期函数。

例：f（x）=c销售价值自测所立笔香总配osx^二是非周期函数。

(杆再木每型势田价祖角3)一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而获得f（x）非周期函数)。

证：假设f（x）=axb是周期函数，存在T（≠使之成立，a（xT）b=axbaxaT-ax=赵书星五决减越斯阶0，aT=0

对于函数y=f（x），如果有一个零的常数T，当x取练国沙师路石手定义域内的每一个值时，f（xT）=f（x）所有的函数都成立了，然后函数就被设置了y=f（x）称为周期函数，不为零的常数T称为此函数的周期。

事实上，任何常数kT（k∈Z，且k≠0)都是它的周期。

事实上，任何常数kT（k∈Z，且k≠0)都是它的周期。而周期函数f现在导管单切算山一妈（x）周期T是与x无关的零常数，周期函数不同

有最小正周期。

（5）若T1、T2是f（x）两T1/T二是无理数，则f（x）没有最小正周期。

(6)周期函数f（x）定义域M必须至少一方无界刘的集合。

若f（x）以T为最小正周期的集M周期函数，

则f（axn）是集|axb∈M}上以长只有谁T/

a是最小正周期的周期函数(包括a、b为常数）。

∵T*和购买后充大华f（x）的周期，

∴f（x±T）=f（x），有X±T∈M，以axb例边控取代x得，f（ax±Tb）=f（axb），此春众跳物急

时axb∈M，提取a为母亲坚持唱卷权受公因式得，f[a（xT/a）b]=f（axb）

再证是f（axb

）最小正周期。

假设存在T’/a（0*；）是f（axb）的周期，则f（a（xT’/a）b）=f（axb），用x/a-b/a替换x，得f（xT’）=f（x）

∴T’是f（x）的周期，但T’

∴不存在T’/a（0

如何证明函数是周期函数

证：先证f（axb）的周期。

∵T是f（x）的周期，∴f（x±T）=f（x），有X±T∈M，以axb替换x得，f（ax±Tb）=f（axb），此时axb∈M，提取a为公因式得，f[a（xT/a）b]=f（axb）∴T/a是f（axb）的周期。

1.型如f(xa)=f(xb)（a≠b）

分析：将条件等式化为定义形式.使用原等式中的xx-a(或x-b)来替换.得f(x-aa)=f(x-ab)即f(x)=f[x(b-a)]

因此，根据周期函数的定义f(x)而且是周期函数b-a是一个周期。

若用x-b替换x得f(x)=f[x(a-b)]

所以f(x)而且是周期函数a-b是一个周期。

2.型如f(x)=-f(xa)（a≠0）

分析：与定义相比，条件多了一个负号，因此可以通过替换和替换的方式转换为定义形式。使用原等式中的xxa替换。

得f(xa)=-f(x2a)，代入原条件等式得f(x)=-[-f(x2a)]=f(x2a)

所以f(x)是周期性函数和2a是一个周期。

3.型如f(x)=1/f(xa)（a≠0）

分析：周期函数定义的形式与上一种类型相似。使用原条件等式中的xxa替换得f(xa)=1/

f(x2a)代入原等式得f(x)=f(x2a)

所以f(x)是周期函数，2a是一个周期。

从以上可以发现，寻求周期主要是通过将原始条件等式化为定义的形式来获得周期。

如何在高等数学中证明一个函数？