如何证明函数的可导性？
首先判断函数在这判断函数x是否有定义，即f(x0)是否存在；其次，判断；f(x0)是否连续，即f(x0-),f(x0),f(x0)三者是否相等；
再次判断函数x0左右导数是否存在并相等，即f‘(x0-)=f'(x0)，只有以上满意，函数在x0处才可导。
可导函数必须连续；不连续函数不能导。
可导，即设y=f(x)如果y在单变量函数中x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。
若函数在x0处可导，所以一定在x0是连续函数。
周期函数具有以下性质：
（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，则nT（n也是任意非零整数)f（x）的周期。
（4）若f（x）正周期最小T，那么f（x）任何正周期T都必须是T的正整数倍。
（5）T*是f（x）最小T1、T2分别是f（x）两个周期，然后T1/T2∈Q（Q有理数集)
（6）若T1、T2是f（x）和T1/T二是无理数，则f（x）没有最小正周期。
如何证明函数可导？
函数导数条件：左右导数存在并相等，并且在该点连续，以证明该点可导。
若函数在x0处可导，所以一定在x0是连续函数。函数可导定义：
（1）设f(x)在x0及其附近有定义，如果a趋于0，
[f(x0a)-f(x0)]/a极限存在，
则称f(x)在x0处可导。
(2)对于区间(a,b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。
可导函数必须连续；连续函数不一定可导，不连续函数不能导。
导数的几何意义：
函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0)几何意义:表示函数曲线在点P0（x0,f（x0)切线的斜率(导数的几何意义是此时函数曲线的切线斜率)。
如果函数y=f（x）在开启范围内的每一点都可以导出，称为函数f（x）在范围内可导。这时函数y=f（x）每个确定的x值对应于一个确定的导数值，构成一个新的函数，称为原始函数y=f（x）记录导函数y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。
如何证明函数的可导性？
如果y=f（x）在（a，b）内可导而在A和B-所有的导数都存在，称为y=f（x）在闭区间[a,b]上可导。
充要条件：函数在点X处可导的充要条件是函数在点X处的左导数和右导数都存在并相等。
如果函数y=f（x）如果函数可以在点x导出，则函数y=f（x）相反，函数处，相反，函数y=f（x）连续在点x，但函数y=f（x)不一定可导。
如果f是在x0个可导函数，f必须在x0连续，特别是任何可导函数都必须在其定义域的每一点连续。反过来不一定。事实上，有一个连续的函数在其定义域中无处不在，但无处不在。
函数f的图像是在平面上点对
x取定义域所有成员的集合。函数图像有助于理解和证明某些定理。
如果X和Y都是连续线，所以函数函数的图像非常直观地表示注意两个集合X和Y二元关系有两个定义:一是三元组（X,Y,G），G是关系图；二是简单地定义关系图。函数f等于其图像，具有第二定义。
函数（function）定义通常分为传统定义和现代定义。函数的两个定义本质上是相同的，但叙述概念的起点是不同的。传统的定义是从运动变化的角度出发的，而现代的定义是从集合和映射的角度出发的。
函数的现代定义是给定一个数集A，假设元素是x，对A中的元素x施加相应的规则f，记作f（x），得到另一集B，假设B中的元素是y，则y与x可以使用等量关系y=f（x）函数概念包含三个要素：定义域A、值域C及相应规则f。核心是相应的规则f，它是函数关系的本质特征。
中国清朝数学家李善兰最早翻译函数，出于其作品《代数学》。他之所以这样翻译，是因为如果在这个变数中函数是另一个变数，那么它就是另一个函数，即函数是指一个量随着另一个量的变化而变化，或者一个量包含另一个量。
如何证明函数可导的详细说法？
证明函数可导的方法有很多，常见的有:
1.画画，有尖角(如y=|x|在x=0那一点就是尖角)，分段(如分段函数)一定不能导向
根据可导性条件，从函数式入手，也就是说，函数的左右极限是存在的，函数的左右极限是相等的。
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